Рауко,
Всё работает, при соблюдении двух условий:
1. Поставить Eclipse локально, скажем в /opt/eclipse
2. Убедиться, что в системе установлена Java. Если нет, установить из репозиториев.
Любопытно, что в репозиториях Ubuntu обычно идёт свежая версия Java, но древняя версия Eclipse, так что вы поступили вполне разумно, скачав Eclipse с сайта. В качестве альтернативного пути могу предложить попробовать Fedora, там всегда свежачок, всё можно ставить из репов.