Должно ли работать если установить систему на основном системнике и перекинуть хард в тот?
Вполне возможно. Есть практический опыт.
Десктопный ХДД через пата-усб-переходник подключал к ноутбуку. Установил Дебиан7. ХДД поставил в десктоп, который старше ноута лет на дцать. Настолько старый, что и с CD грузиться не умеет.
Система загрузилась без всяких правок и нормально работает. Отличие от вашей ситуации - там есть видеокарта и монитор.
или сеть должен автоматом подтягивать?
Какая сеть и как настроена. Если проводная и в "десктопном варианте", то настройка не зависит ни от чего. Настроил соединение буквально в один клик и все. На новом месте только подключил провод, автоматом поднялось соединение сеть заработала.