Я впервые в твоей теме узнал про IDLE. Тебе видней, что у тебя корректно.
Но, раз уж запускаешь в IDLE, то от него и танцевать. Хотя, в качестве шаблона можно взять любой десктоп-файл.
И будет лучше, сохранить его под индивидуальным именем, чтобы никакое обновление его не переписало. И тебе нагляднее, что это именно твое изделие, а не системное.
...самый файл python3.13.desktop
А если посмотреть. Неужели в python3.13.desktop: "Exec=/usr/bin/idle-python3.13"?
У меня система немного старее, я вижу "Exec=/usr/bin/python3.10".
...или с форматом иконки?
Уж точно, не с форматом иконки. Может быть svg, png, jpg, любых размеров.