нет, не дерутся, ведут себя вполне прилично )))
это же не DE
для каждого есть свой отдельный xinitrc со своим набором запускаемых при старте программ
DM у меня нет, давно от него избавился, стартую иксы из консоли (для запуска каждого wm прописан альяс, чтоб каждый раз не набирать команду полностью)
alias xx='startx ~/.xinitrc-xmonad'
alias xh='startx ~/.xinitrc-harbstluftwm'
alias xi='startx ~/.xinitrc-i3'
alias xa='startx ~/.xinitrc-awesome'
вполне могу запускать в разных tty разные wm
когда настраивал сабж так и делал
в tty1 был запущен xmonad с браузером, текстовым редактором для правки конфига и прочим софтом
в tty2 запускал сабж и смотрел как он реагирует на изменения в конфиге
ничего удивительного в этом нет - создаётся отдельная сессия и в ней запускается отельный х-сервер и остальные программы
с sway ещё проще - он же не иксы использует, а wayland