Если ваша система стоит на LVM и у вас есть рутовый доступ к системе, тогда непонятно, почему это вам не подходит.
Так как насколько я понимаю, чтобы сделать LVM snapshot необходимо остановить сервер, а у меня нет доступа к серверу в выключенном состоянии.
Нет. Исходные требования: ваш LVM (не провайдера), ваш рут. Вы останавливаете только сервисы, которые могут держать кеш дисковых операций в памяти, делаете sync, делаете снапшот, запускаете всё обратно, далее маунтите снапшот и делаете с него бекап удобным для вас способом.
Что говорит ваша система в ответ на pvdisplay, vgdisplay, lvdisplay?