У меня подобная вещть бывает, когда из-за впн стартую в опере в почту. Просто делаю это самое в ФФ. Через примерно, иногда на другой день эта самая опера, с этого самого компа отлично входит на этот самый мэйл.
Создалось впечатление, что косячят иногда на некоторых сайтах, где нет https, но требования не меньше.
Птички в опере "принимать куки" ничего не дадут. Как вариант представляться FFox - IE. Имхо может помочь.
Например, на многих сайтах банков, в первых страницах указано, что опера, хром, сафари не поддерживается. Вот такие жлобы.