Обнуление папки с файлами привело к запуску чистого ThunderBird, что на область уведомлений это ни коим образом не повлияло. Его там как не было, так и нет.
Почта всегда находится в запущенном состоянии на рабочем столе справа, так у меня заведено испокон веков и всегда все хорошо работало. Пришла почта, есть всплывающее и понятно о чем там речь. Прозевал всплывающее, вижу синий ковертик, окей, перешел на соседний рабочий стол и посмотрел что там. Удобно. Быстро.
Можно переустановить, конечно, но хотелось бы разобраться в причинах.