Я поставил расширение FireTray в Thunderbird (есть в стандартном "магазине" Thunderbird).
На Ubuntu светится золотистым если есть поста и обычно если не прочитано почты нету (отображение настраивается).
В Xubuntu так же конвертик, когда нет почты и циферка если почта есть, а число отображает кол-во не прочитанных писем.
Скрины с Xubuntu (хотя расширение корректно работает и под Windows версиями).
почта запущена, новых писем нету, значок только в трее (настраивается по желанию)
Появилось 1 новое не прочитанное сообщение