Можно журнал отправить в файл:
42 12 * * * /home/ded/Dropbox/213/zip.sh >> /tmp/zip.log 2>&1
В скрипте не указано, в какой оболчке он будет выполнятся. Ком.строка в Ubuntu это Bash. А какую шелл берёт Cron - это надо смотреть. Можно прямо указать нужный шелл:
#!/bin/bash
cd /var/www
...
Между
DATE=$(date +%d-%m-%Y)
и
DATE=$(date '+%d-%m-%Y')
может оказаться громадная разница. Может зависеть от шелл, и от переменных шелл. Второй вариант выключает возможность интерпретации знаков '+' и '%'. Строки с пробелами или спец.символами типа '+' надо брать в одинарные или двойные кавычки. Одинарные кавычки строже двойных. В одинарных $DATE так и останется $DATE, а в двойных будет развёрнуто в значение из DATE.
Одинарные кавычки - котрые справа, у кнопки Энтер - вот эти ' .
Слева, на букве ё, которые - `, они другие. Они эвивалентны взятию в скобки вот так: $() - запуск в шелл, того что в скобках.