Необходимо фиксировать время работы компьютера ( с момента включения до выключения ), например которое возвращает команда uptime. Собственно, набросать скрипт в пару строчек не составит труда, а вот как указать системе, что его необходимо выполнять при выключении компьютера? И результат желательно сохранять куда-нибудь в /var/log, что простому пользователю недоступно.