в папке home или media и все, верно?
Ну точно не в /home и не /media. Данные пользователя хранятся в Домашней папке пользователя, которая на самом деле имеет путь
/home/username
В самом /home ничего хранить не нужно, да и прав у пользователя без sudo на это нет.
А в /media/username монтируются внешние носители. Это точно не для хранения чего-либо.
Просто создавайте папки в своей домашней директории и там храните. С вашим представлением о файловой системе лучше никаких особых телодвижений не делать.