Затык в том, что переменные $START и $END экранированы внешними ординарными кавычками. Так будет работать:
sed -n "/$START/,/$END/p"
Если значения этих переменных не содержат пробелов, то можно вообще без кавычек
sed -n /$START/,/$END/p
Но скрипт в любом случае нерабочий. Читаются искомые даты в переменные date1, date2, грепаются литералы data1, data2 (зачем-то помещенные в ординарные кавычки). Переменная RESULT не используется (это не ошибка, просто непонимание логики работы скрипта)