Все действия делаются от root, для чистоты эксперимента лучше завершить работу графики, и работать в консоли.
1. Монтируем раздел куда-нибудь, в который нужно перенести /home:
2. Копируем содержимое /home в смонтированный раздел:
cp -a /home/* /путь_к_разделу
Опция -a означает, что делается резервная копия и все права на файлы нужно сохранить как у оригинала.
3. Отмонтируем раздел
umount /dev/sda1
4. Прописываем в /etc/fstab новый раздел в качестве /home:
UUID=Идентификатор_монтируемого_раздела /home ext4 defaults 0 0
Индентификатор раздела и фс можно узнать
blkid
5. Монтируем новый раздел в /home
mount /dev/sda1
Так как он прописан в fstab, то точку монтирования указывать не надо.
5. Убеждаемся, что всё в порядке. (Запустить графику)
Можно перезагрузиться.
Если все нормально, то потом содержимое старого хома можно удалить.