Постараюст привести к одному итогу все сказанное.
Порядок действий.
Допустим, у вас sda1 - корень, sda5 - home. Вы сделали новый раздел sda6 под tmp и отформатировали его в ext4.
У вас, разумеется, может быть по другому.
Можно узнать командой df -h
1. Грузимя из под LiveСВ и полностью очищаем /tmp (только не тот, что в LiveCD, а который на sda1)
2. добавляем в /etc/fstab строку
/dev/sda6 /tmp ext4 defaults 0 2
после перезагрузки /tmp будет находиться на отдельном разделе.