Когда было все по IMAP например приходит 10 писем, просматриваю их на компе удаляю ненужное, на мобильнике даже после обновления все теже 10 писем.
И виноват конечно IMAP во всём этом, но куда больше вас интересует отключение автоматической проверки почты в Thunderbird. Да, вы действительно мыслите
неординарно. Если следовать вашей логике, то следующий ваш шаг, это отказаться от использования электронной почты, в пользу чего то другого имеющего мало общего с Email, например SMS
Если без сарказма, то главный вопрос, почему вы так неординарно мыслите? У вас не правильно работал один из клиентов по IMAP, проблему не пытались решить, наверное нет, даже не упомянули название клиента на смартфоне.
Конечно, мало вероятно, что я смогу помочь с клиентом на смартфоне, но тут же не я один. Чем более подробно и понятно вы составляете вопрос, тем больше шансов ответов вообще, и ответов по делу.
Рекомендую вернуть всё "взад" на IMAP, и разобраться о причинах его плохой работы, возможно стоит клиент на смартфоне поменять.
1.Укажите какой клиент на смартфоне вы используете
2. Укажите каким почтовым сервисом пользуетесь, если это публичная почта, то какая именно, если своя, то так и напишите свой сервер.