Не торопясь, сам решил свою проблему. Вот, честно, шибко заумные ответы, это "ни о чем". Поэтому, даже уточнять не стал, что и как надо делать.
Не надо ни чего ломать и настраивать "внутренний сервер".
В Linux системе используется systemd-resolver, или по новым веяниям, называется resolvectl.
По мнению автора этого "шедевра", компонент работает правильно. Надо уметь правильно ему передавать параметры.
В частности, используется OpenVPN и NetworkManager. Последний, это как раз та система, которую надо настроить.
И так, у меня есть несколько соединений.
$ nmcli con show
NAME UUID TYPE DEVICE
corp xxxxxxxx-xxxx-xxxx-xxxx-xxxxxxxxxxxx vpn enp2s0
Проводное соединение 1 xxxxxxxx-xxxx-xxxx-xxxx-xxxxxxxxxxxx ethernet enp2s0
tun0 xxxxxxxx-xxxx-xxxx-xxxx-xxxxxxxxxxxx tun tun0
Надо настроить vpn соединение corp.
В стандартном GUI окне настроек, включена опция "использовать это подключение только для ресурсов в этой сети".
В GUI не отображаются все параметры. Надо смотреть их в консоли.
$ nmcli con show corp
Меня интересует параметр ipv4.dns-search. Сервер OpenVPN не отдает клиенту список доменов, которые доступны из этой подсети. Соответственно, указанный параметр не заполнен. Будем его заполнять.
$ nmcli con modify corp ipv4.dns-search 'corp.lan,corp.sel'
$ sudo systemctl restart NetworkManager
Поднимаем VPN соединение.
Выполняем тестовые ping
$ ping host.corp.sel
$ ping host.corp.lan
Всё работает.