Нашел маленькую программку на Python'е отечественного автора - mail-notifier.
Ссылки:
Обсуждение,
github,
новая ссылка.
Работает из любого места. Достаточно скачать и распаковать. Для работы нужно доустановить только PyQt5:
sudo apt-get install python3-pyqt5
Запуск:
python3 '/Path_To_Mail_Notifier/mail-notifier/mail-notifier.py' &
Если почта на Mail.ru (мой временный ящик там), то:
Чтобы войти в ящик Mail.ru через почтовую программу на компьютере, обычный пароль от ящика не подойдёт — вам понадобится специальный пароль для внешнего приложения. Для создания такого пароля перейдите значок шестеренки → «Безопасность» → «Пароли для внешних приложений»
Настройка простая. Порт нужно установить 993.

В трее на конверте указывается количество новых писем:

Как будет работать, время покажет. Пока все устраивает.
Update: Добавил скриншот и команду запуска.