Думаю, что это зависит от сайта. Однажды на Ю-Тюбе открыл вкладку, где через некоторое время должна была начаться трансляция новой серии фильма. Воспроизведение не нажимал. Пока я чем-то занимался в других вкладках, вдруг заорал звук этой трансляции. Трансляция началась. Тоесть в неактивной вкладке все работало.
Что касается почты через браузер, то я ей активно не пользуюсь, поэтому не обращал на это внимания. Но в этом есть и положительный момент, т.к. неактивные вкладки не нагружают компьютер.
Другой момент известен с незапамятных времен. При простом обновлении страницы (F5), часто страница грузится из кеша браузера. Чтобы полностью ее обновить, не используя кеш, нужно нажать Control+F5.